话不多说，直接上题
Q
求矢量场 $\boldsymbol{A} = x^{2} \boldsymbol{i} + y^{2} \boldsymbol{j} + (x+y) z \boldsymbol{k}$ 通过点 $M(2,1,1)$ 的矢量线方程。
A
矢量线应满足的微分方程
$$
\frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}=\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\frac{\mathrm{d} z}{(x+y) z}
$$
由 $\frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}=\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}$ 解得 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+C_{1}$
又按等比定理有
$$
\frac{\mathrm{d}(x-y)}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\mathrm{d} z}{(x+y) z} \text { 或 } \frac{\mathrm{d}(x-y)}{x-y}=\frac{\mathrm{d} z}{z}
$$
由此解得 $x-y=C_{2} z$
故矢量线族方程为
$$
\begin{array}{l}
\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+C_{1} \\
x-y=C_{2} z
\end{array}
$$
以点 $M(2,1,1)$ 的坐标代入，确定出 $C_{1}=-\frac{1}{2}, C_{2}=1$ ，代入上式, 即得通过点 $M$ 的矢量线方程为 $(A)$
$$
\begin{array}{l}
\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{2} \\
x-y=z
\end{array}
$$
另法
由 $\frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}=\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}$ 解得 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+C_{1}$ ，再由此解出 $x=\frac{y}{1+C_{1} y}$ ，代入 $\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\frac{\mathrm{d} z}{(x+y) z}$ 中，得
$$
\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\frac{\mathrm{d} z}{\left(\frac{2 y+C_{1} y^{2}}{1+C_{1} y}\right) z}
$$
即
$$
\frac{\left(2+C_{1} y\right) \mathrm{d} y}{y\left(1+C_{1} y\right)}=\frac{\mathrm{d} z}{z} \text { 或 }\left(\frac{2}{y}-\frac{C_{1}}{1+C_{1} y}\right) \mathrm{d} y=\frac{\mathrm{d} z}{z}
$$
由此解得
$$
\frac{y^{2}}{1+C_{1} y}=C_{2} z \text { 或 } x y=C_{2} z
$$
于是得矢量线族方程为
$$
\begin{array}{l}
\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+C_{1} \\
xy=C_{2} z
\end{array}
$$
以点 $M(2,1,1)$ 的坐标代人，得 $C_{1}=-\frac{1}{2}, C_{2}=2$ . 从而得通过点 $M$ 的矢量线方程为 $(B)$
$$
\begin{array}{l}
\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{2} \\
xy=2z
\end{array}
$$
将方程组 $(B)$ 与方程组 $(A)$ 相比，虽然第二个方程不同，但它们所
表达的矢量线是一样的。因为从 $(A)$ ， $(B)$ 两组方程之一可以得出其另一
组来。
比如：将方程组 $(A)$ 中的第一个方程改写为 $xy=2(x-y)$ ，再以其第二
个方程 $x-y=z$ 代人，得 $xy=2z$ 。将此方程与 $(A)$ 的第一个方程联立，即得方程组 $(B)$ 。